丢番图逼近✍️

在数论中，丢番图逼近探讨以实数逼近有理数的课题，逼近的程度通常以该有理数的分母衡量。

正文

数论的一个分支，以研究数的有理逼近问题为主。这里所谓的数是指实数、复数、代数数或超越数。数的有理逼近问题，可表为求某种不等式的整数解问题。由于在整数范围求解的方程称为不定方程或丢番图方程，因而把求不等式的整数解问题称之为丢番图逼近。

1842年，P.G.L.狄利克雷首先证明了实数有理逼近的一个结果：如果α是任意实数,Q是大于1的实数，那么存在整数对p、q，满足两个不等式:和。由此可得，如果α是任意无理数，那么存在无穷多对互素的整数对p、q，满足不等式。当α是有理数时，上式不成立。

1891年，A.阿道夫·胡尔维茨将上式改进为并指出，对于某些无理数，常数是最佳值，不可再减小。但是对于很多无理数，常数 不是最佳值，还可再减小。

1926年，A.Я.亚历山大·辛钦证明了：在勒贝格测度意义下对几乎所有的实数α，不等式的整数解p、q有无穷多对还是只有有穷多对，由级数是发散的还是收敛的而定，这里是正的非增函数。此即所谓丢番图逼近测度定理。例如，对几乎所有的实数 α和任意的,不等式只有有穷多对整数解，而不等式有无穷多对整数解。

丢番图逼近与连分数有密切联系。一个数的连分数展开，往往就是具体构造有理逼近解的过程。例如，对于任意无理数α，有无穷多个渐近分数,满足不等式

1844年，J.约瑟夫·刘维尔开创了实代数数的有理逼近的研究，他证明了：如果α是次数为d的实代数数，那么存在一个常数，对于每个不等于α的有理数，有。亦即如果，那么不等式只有有穷多个解。根据这一结果，刘维尔构造出了历史上的第一个超越数。以后一些数学家不断改进指数μ 的值，直到得出μ 与 d无关的结果。

1909年，A.图埃得到。

1921年，C.L.西格尔得到。

1947年至1948年间,F.戴森和A.O.盖尔丰德各自独立证明了。

1955年,K.F.罗特得到了μ与d无关的一个结论：如果α是实代数数，其次数 ,那么对于任意的，不等式 只有有穷多个解。这一结论又称为图埃-西格尔-罗特定理。

对于一组数的有理逼近问题，称之为联立丢番图逼近。狄利克雷关于联立逼近有如下论断：如果是n个实数,是整数，那么存在一组整数q,满足不等式组

进而，如果 中至少有一个无理数，那么存在无穷多组解()，适合不等式组关于实代数数的联立有理逼近，直到1970年才由W.M.施密特彻底解决。他证明了：如果 是实代数数，并且1, 在有理数域上线性无关，那么对任意的，只有有限多个正整数q使得成立。式中记号‖x‖表示x与最近整数的距离。这一结果的一个等价表达方式：对于上述的实数及任意的，只有有限多组非零整数 适合。

由此可知，联立不等式

丢番图逼近

只有有限多组解( )，以及不等式

只有有限多组整数解p, 。

用代数数逼近代数数，也是丢番图逼近的一类重要内容。W.M.施密特所著《丢番图逼近》（1980）一书中，有详细的论述。

自20世纪以来，丢番图逼近除自身的发展外，在超越数论、丢番图方程等方面都有重要的应用。

参考书目

J. W. S.Cassels,An Introduction to Diophantine ApproxiMation, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1957.

参考资料