百鸡术✍️

百鸡术(Baijishu)清代研究和推广“三色差分”的数学著作。二卷，清时曰醇撰，成书于1861年

概念

中国古代解一次不定方程的一种方法

南北朝时的数学著作《张丘建算经》（约成书于5世纪，后收入《算经十书》）

卷下最末一题为：“今有鸡翁一直钱五，鸡母

直钱三，鸡雏三直钱一。凡百钱买鸡百只。问鸡翁母雏各几何”。史称“百鸡问

题”。这是一个一次不定方程组。关于这一问题的解法，原书仅有“鸡翁每增四，鸡母每减

七，鸡雏每益三”的简单术文，并列出全部正整数答案(4,18，78)、(8，11，81)和

(12，4，84),至于“增四”、“减七”、“益三”的根据则没有叙述。传本《张丘建

算经》附有北宋谢察微的术草，其方法纯属偶然。

北周甄鸾在《数术记遗》的注文中列举两道百鸡问题及各一组解，作为“计数”

（即心算）的实例，对其算理则未深究。

鸡兔同笼问题

南宋杨辉在《续古摘奇算法》(1275)中提到两种解法，他声称一种出于《辩古根

源》、一种出于另一佚名写本（二书均已失传）；第二种解法乃先固定某一未知数，

此将百鸡问题化为“鸡兔同笼问题”，相当于求解二元一次方程组。

清代学者研究百鸡问题的很多，其中较突出的是骆腾凤、丁取忠和时曰醇。骆腾

凤在《艺游录》(1815)中提出了一个十分巧妙的解法：先由题设方程组消去z,得

,两边同除以7,又得4y2(mod7)；另一方面，因有4y呏0(mod4)，于是得一

“今有物不知数(4y),以七除之，余二；以四除之，恰尽”的问题，可由“大衍求一

术”（见孙子剩余定理）解决。丁取忠《数学拾遗》(1851)的解法与杨辉所记第二

法类似，只是他先假定鸡翁无，求得鸡母数25，鸡雏数分析 75,；若再由z加

3，y减3，则鸡数不会变，而钱数则少8；又因为鸡翁的单价比鸡母的单价多2，可以设

想再将 4只鸡母换成4只鸡翁，那么总的鸡数和钱数都不变，这样就解释了“增四”、

“减七”、“益三”的道理，并得出第一组解 (4，18,78)。时曰醇综合骆、丁二氏的

解法，作《百鸡术衍》(1861)，使这一古老问题灿然大著。

流传广泛

百鸡术在世界上流传很广泛

印度的摩诃毗罗（9世纪）、婆什迦罗第二（12世

纪）、埃及的阿布·卡米尔（9世纪）、意大利的L.斐波那契 (13世纪)以及阿拉伯

的卡西（15世纪）的著作中有类似的问题，它又是中外数学交流的一个重要线索，在

中世纪世界数学史上有着特殊的意义。

参考资料