曲线拟合✍️

曲线拟合（curve fitting）是专业术语，拼音为qǔ xiàn nǐ hé，是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两种变量间的关系。

简介

用连续曲线近似地刻画或比拟平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系的一种数据处理方法。用解析表达式逼近离散数据的一种方法。在科学实验或社会活动中，通过实验或观测得到量x与y的一组数据对，其中各是彼此不同的。人们希望用一类与数据的背景材料规律相适应的解析表达式，来反映量x与y之间的依赖关系，即在一定意义下"最佳"地逼近或拟合已知数据。常称作拟合模型，式中是一些待定参数。当c在f中线性出现时，称为线性模型，否则称为非线性模型。有许多衡量拟合优度的标准，最常用的一种做法是选择参数c使得拟合模型与实际观测值在各点的残差(或离差的加权平方和达到最小，此时所求曲线称作在加权最小二乘意义下对数据的拟合曲线。有许多求解拟合曲线的成功方法，对于线性模型一般通 过建立和求解方程组来确定参数，从而求得拟合曲线。至于非线性模型，则要借助求解非线性方程组或用最优化求得所需参数才能得到拟合曲线，有时称之为非线性最小二乘拟合。

曲线拟合：贝塞尔曲线与路径转化时的误差。值越大，误差越大；值越小，越精确。

常用函数

指数函数

指数函数(exponential 函数)的标准式形式为

(12.29)

对式（12.29）两边取对数，得

(12.30)

时，Y随X增大而增大；时，Y随X增大而减少。见图12.4(a)、(b)。当以和X绘制的散点图呈直线趋势时，可考虑采用指数函数来描述Y与X间的非线性关系，和b分别为截距和斜率。

更一般的指数函数

(12.31)

式中k为一常量，往往未知, 应用时可试用不同的值。

对数函数

对数函数（lograrithmic 函数）的标准式形式为

()(12.32)

时，Y随X增大而增大，先快后慢；时，Y随X增大而减少，先快后慢，见图12.4(c)、(d)。当以Y和绘制的散点图呈直线趋势时，可考虑采用对数函数描述Y与X之间的非线性关系，式中的b和a分别为斜率和截距。

更一般的对数函数

(12.33)

式中k为一常量，往往未知。

(a)(b)(c)(d)

幂函数

幂函数（power 函数）的标准式形式为

(12.34)

式中时，Y随X增大而增大；时，Y随X增大而减少。

对式（12.34）两边取对数，得

(12.35)

所以，当以和绘制的散点图呈直线趋势时，可考虑采用幂函数来描述Y和X间的非线性关系，和b分别是截距和斜率。

更一般的幂函数

(12.36)

式中k为一常量，往往未知。

步骤

（一）绘制散点图，选择合适的曲线类型

一般根据资料性质结合专业知识便可确定资料的曲线类型，不能确

定时，可在方格坐标纸上绘制散点图，根据散点的分布，选择接近的、合适的曲线类型。

（二）进行变量变换

(12.37)

使变换后的两个变量呈直线关系。

（三）按最小二乘法原理求线性方程和方差分析

（四）将直线化方程转换为关于原变量X、Y的函数表达式

参考资料