结式✍️

结式(eliminant)是代数学术语，指由两个多项式的系数所构成的一种行列式，或称Sylvester行列式，结式可判断两个多项式是否有公根、是否互素，以及判断多项式是否有重根。

定义

设

定义下列 阶行列式

为 与 的结式或称 Sylvester行列式。

相关定理

显然，根据定义我们可以有下列判断两个多项式存在公根的定理，具体证明过程可参考后文参考文献。

定理1

多项式 与 有公根（在复数域中）的充分必要条件是它们的结式。

推论1

多项式 与 互素的充分必要条件是它们的结式。

定理2

设

的根为 , 的根为 ,则 与 的结式为

定义2

利用结式，可定义多项式的判别式如下。

多项式

的判别式定义为

定理3

多项式

的判别式等于

其中为的根。

推论2

多项式有重根的充分必要条件是它的判别式。

参考资料