控制变量法✍️

控制变量法（英语：control variates）是在蒙特卡洛方法中用于减少方差的一种技术方法。该方法通过对已知量的了解来减少对未知量估计的误差。控制变量法，就是在研究和解决问题的过程中，对影响事物变化规律的因素或条件加以人为控制，使其中的一些条件按照特定的要求发生变化或不发生变化，最终解决所研究的问题。可以说任何物理实验，都要按照实验目的、原理和方法控制某些条件来研究。

原理

控制变量法的原理是通过引入一个已知期望值的统计量，即控制变量，来减少对未知量估计的误差。假设要估计的参数为$\mu$\mu$\mu$\tau^{\star}=m+c(t-\tau)^{\star}方差最小，且与相关系数有关。当$\rho_{m,t}$\textrm{Cov}(m,t)$\textrm{Var}(t)$\rho_{m,t}蒙特卡洛模拟进行估计。由于该方法相当于一个最小二乘法系统，又被称为回归抽样。

示例

控制变量法的一个示例是使用蒙特卡洛方法估计积分=\int_{0}^{1}{\frac{1}{1+x}}\,\mathrm{d}x(U)={\frac{1}{1+U}}期望值。其中，均匀分布。假设有{1},\cdots,u_{n}\approx{\frac{1}{n}}\sum_{i}f(u_{i})(U)=1+U$\mathbb{E}\left[g\left(U\right)\right]=\int_{0}^{1}(1+x)\,\mathrm{d}x={\tfrac{3}{2}}\approx{\frac{1}{n}}\sum_{i}f(u_{i})+c\left({\frac{1}{n}}\sum_{i}g(u_{i})-3/2\right)=1500^{\star}\approx 0.4773蒙特卡洛模拟所给出的积分估计值为$0.6929

应用

控制变量法在多个科学领域都有应用，包括物理学、统计学等。在物理学中，控制变量法常用于研究多因素问题，通过控制某些因素不变，研究其他因素对事物的影响。在统计学中，变量是研究对象的特征，可以是定性的也可以是定量的。控制变量法在统计学中也被称为回归抽样，用于研究变量之间的关系。

参考资料

控制变量法.知乎.2024-08-12

第二话 统计计算之蒙特卡洛积分和方差缩减技术(未完待续).CSDN博客.2024-08-12