格兰迪级数✍️

格兰迪级数(Grandi's series)，即1 − 1 + 1 − 1 + …，是在1703年由意大利数学家格兰迪发表的，后来荷兰数学家丹尼尔·伯努利和瑞士数学家莱昂哈德·欧拉等人也都曾研究过它。

它是一个发散级数，也因此在一般情况下，这个级数是没有和的。但若对该发散级数进行一些特别的求和处理时，就会有特定的“和”出现。格兰迪级数的欧拉和和切萨罗和均为1/2。

简介

针对以下的格兰迪级数

一种求和方式是求它的裂项和：

但若调整括号的位置，会得到不同的结果：

用不同的方式为格兰迪级数加上括号进行求和，其级数和可以得到0或是1的值。

格兰迪级数为发散几何级数，若将收敛几何级数求和的方式用在格兰迪级数，可以得到第三个数值：

因此

，即

，

可得到。

依照上述的计算，可以得到以下的二种结论：

格兰迪级数 的和不存在。

格兰迪级数的和为。

总结

上述二个答案都可以精确的证明，但需要用19世纪提出的一些良好定义的数学概念。从17世纪欧洲开始使用微积分起，一直到现在严谨的数学成型之前，上述二个答案已造成数学家们尖锐及无止尽的争论。

参考资料